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Efficient enhancement of turbulent entrainment by small-scale shear instability

T. Watanabe
Efficient enhancement of turbulent entrainment by small-scale shear instability
Journal of Fluid Mechanics, 988 A20 2024
DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2024.427

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Abstract

Turbulent entrainment is a process by which a locally turbulent region draws in an outer irrotational fluid. A large number of small-scale vortices and shear layers exist near the turbulent/non-turbulent interface; these features influence the local entrainment process. Direct numerical simulations of a turbulent front evolving into a quiescent flow without mean shear show that the entrainment rate is amplified by triggering the instability of small-scale shear layers via weak perturbations with a wavelength matching that of the unstable mode of the shear layers. Imposing artificial perturbations with a length scale approximately 30 times the Kolmogorov scale leads to the rapid collapse of small-scale shear layers due to instability, generating vortices near the turbulent/non-turbulent interface. Amplification of the entrainment rate is linked to the enlarged area and increased propagation velocity of the interface. The impact of perturbations on the entrainment rate becomes most pronounced when the flow evolves over approximately 7 times the Kolmogorov time scale, after which their influence diminishes over time. Additionally, the increase in entrainment rate is dictated by the ratio of the perturbation amplitude to the Kolmogorov velocity scale. The entrainment enhancement process is governed by Kolmogorov scales, suggesting that even weak perturbations can amplify the entrainment rate in high Reynolds number flows.

日本語訳 (DeepL翻訳)

小スケールせん断不安定性による乱流エントレインの効率的促進

乱流エントレインメントは、局所的な乱流領域が外側の非乱流体を引き込むプロセスである。乱流/非乱流界面近傍には多数の小規模な渦とせん断層が存在し、これらの特徴は局所的な巻き込みプロセスに影響を与える。乱流前線が平均せん断のない静止流に発展する直接数値シミュレーションにより、せん断層の不安定モードと波長が一致する弱い擾乱によって小規模せん断層の不安定性を誘発することで、巻き込み速度が増幅されることが示された。Kolmogorovスケールの約30倍の長さの人工的な摂動を与えることで、乱流/非乱流界面近傍に渦を発生させ、不安定性により小規模なせん断層が急速に崩壊する。巻き込み速度の増幅は、界面の面積の拡大と伝播速度の増加に関連している。摂動が巻き込み率に与える影響は、流れがコルモゴロフの時間スケールのおよそ7倍にわたって発展するときに最も顕著になり、その後、その影響は時間とともに減少する。さらに、巻込み速度の増加は、コルモゴロフ流速スケールに対する擾乱振幅の比によって決まる。巻き込みの増大過程はコルモゴロフスケールに支配されており、弱い擾乱でも高レイノルズ数の流れにおいて巻き込み率を増幅できることを示唆している。

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LES investigation of a piston-driven synthetic jet actuator with multiple orifices

P. D. Tung, T. Watanabe, K. Nagata
LES investigation of a piston-driven synthetic jet actuator with multiple orifices
CFD Letters, 16 1998-2009 2023
DOI:  https://doi.org/10.37934/cfdl.16.1.150170

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Abstract

A piston-driven synthetic jet actuator has the potential for application in flow control and fundamental studies of turbulence, although the high-speed flow generated by this actuator is less investigated than a low-speed synthetic jet. The interaction of high-speed jets issued from a piston-driven synthetic jet actuator with multiple orifices is investigated with large eddy simulation (LES). The maximum jet Mach number is related to the maximum pressure inside the actuator regardless of the number of orifices. Temporal variations of the jet Mach number are almost identical for different cycles, and the jet formation in each cycle occurs under the same conditions despite the unsteady nature of the jet interaction. The phase-averaged statistics are used to examine the interaction of the synthetic jets. The converging, merging, and combined regions known for the interaction of continuous jets appear for the interaction of the high-speed synthetic jets slightly before the end of the blowing phase. However, the converging region is not clearly observed at the beginning of the blowing phase because the jets tend to be parallel to each other. Therefore, the combined region forms at a late stage of the blowing phase. Before the jets are combined, velocity fluctuations in the blowing phase become large near the furthest locations where the jets reach. Once the jets merge by their interaction, large velocity fluctuations are observed at the downstream end of the merging region. The probability density functions of velocity fluctuations in the blowing phase tend to deviate from a Gaussian distribution along the centerline of the jets. This deviation is more significant for the two-orifice model than for the four-orifice model under the same actuation frequency.

日本語訳 (DeepL翻訳)

複数のオリフィスを有するピストン駆動シンセティックジェットアクチュエータのLES解析

ピストン駆動シンセティック噴流アクチュエータは、流れの制御や乱流の基礎研究に応用できる可能性があるが、このアクチュエータによって発生する高速流れは、低速合成噴流に比べてあまり研究されていない。複数のオリフィスを有するピストン駆動合成ジェットアクチュエータから噴出される高速ジェットの相互作用をラージ・エディ・シミュレーション（LES）を用いて調べた。最大噴流マッハ数は、オリフィスの数に関係なく、アクチュエータ内の最大圧力と関連している。噴流マッハ数の時間変化は，異なるサイクルにおいてほぼ同じであり，噴流相互作用の非定常性にもかかわらず，各サイクルにおける噴流形成は同じ条件下で起こる．位相平均統計量を用いて、合成ジェットの相互作用を調べた。連続噴流の相互作用で知られている収束、合流、結合領域が、高速合成噴流の相互作用では、吹き出しフェーズの終了の少し前に現れる。しかし、噴流が互いに平行になる傾向があるため、吹き出し段階の初期には収束領域は明確に観察されない。したがって、収束領域は吹き出しフェーズの後期に形成される。噴流が合流する前に、噴流が到達する最も遠い位置付近では、吹き出し段階での速度変動が大きくなる。噴流が相互作用によって合体すると、合体領域の下流端で大きな速度変動が観測される。吹き出し段階の速度変動の確率密度関数は、噴流の中心線に沿ってガウス分布から外れる傾向がある。この偏差は、同じ作動周波数では、4オリフィスモデルよりも2オリフィスモデルでより顕著である。

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LES/Lagrangian-particle-simulation of a supersonic reactive turbulent planar jet

J. Xing, T. Watanabe, K. Nagata
LES/Lagrangian-particle-simulation of a supersonic reactive turbulent planar jet  
Journal of Fluids Engineering, 146 070902 2024

This article may be found at https://doi.org/10.1115/1.4065301.

日本語訳 (DeepL翻訳)

超音速反応性乱流平面噴流のLES/ラグランジアン粒子シミュレーション  

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Nearly homogeneous and isotropic turbulence generated by the interaction of supersonic jets

T. Mori, T. Watanabe, K. Nagata 
Nearly homogeneous and isotropic turbulence generated by the interaction of supersonic jets 
Experiments in Fluids, 65 947 2024
DOI: https://doi.org/10.1007/s00348-024-03764-6

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Abstract

This study reports the development and characterization of a multiple-supersonic-jet wind tunnel designed to investigate the decay of nearly homogeneous and isotropic turbulence whose generation process is strongly influenced by fluid compressibility. The interaction of 36 supersonic jets generates turbulence that decays in the streamwise direction. The velocity field is measured with particle image velocimetry by seeding tracer particles with ethanol condensation. Various velocity statistics are evaluated to diagnose decaying turbulence generated by the supersonic jet interaction. The flow is initially inhomogeneous and anisotropic and possesses intermittent large-scale velocity fluctuations. The flow evolves into a statistically homogeneous and isotropic state as the mean velocity profile becomes uniform. In the nearly homogeneous and isotropic region, the ratio of root-mean-squared velocity fluctuations in the streamwise and vertical directions is about 1.08, the longitudinal integral scales are also similar in these directions, and the large-scale intermittency becomes insignificant. The turbulent kinetic energy per unit mass decays according to a power law with an exponent of about 2, larger than those reported for incompressible grid turbulence. The energy spectra in the inertial subrange agree well with other turbulent flows when normalized by the turbulent kinetic energy dissipation rate and kinematic viscosity. The non-dimensional dissipation rate Cε is within a range of 0.56–0.87, which is also consistent with incompressible grid turbulence. The dependence of Cε on the turbulent Reynolds number aligns with the scaling of non-equilibrium turbulence, leading to the large decay exponent.

日本語訳 (DeepL翻訳)

日本語タイトル

本研究では、流体圧縮性の影響を強く受けるほぼ一様で等方的な乱流の減衰を調べるために設計された複数超音速ジェット風洞の開発と特性評価について報告する。36個の超音速ジェットの相互作用により、流れ方向に減衰する乱流が発生する。トレーサー粒子をエタノール凝縮液で添加し、速度場を粒子画像流速計で測定した。超音速噴流の相互作用によって発生する減衰性乱流を調べるために，さまざまな速度統計量を評価した．流れは初期には非一様で異方的であり、間欠的な大規模な速度変動を持っている。平均速度分布が一様になるにつれて、流れは統計的に均質で等方的な状態に発展する。ほぼ均質で等方的な領域では、流れ方向と鉛直方向の速度変動の二乗平均平方根の比は約1.08であり、縦方向の積分スケールもこれらの方向で同様であり、大規模な 間欠性は重要でなくなる。単位質量あたりの乱流運動エネルギーは、非圧縮性格子乱流で報告されたものよりも大きい、指数約2のべき乗則に従って減衰する。慣性領域におけるエネルギースペクトルは、乱流運動エネルギー散逸率と動粘性率で正規化すると、他の乱流とよく一致する。無次元散逸率Cεは0.56-0.87の範囲にあり、これも非圧縮性格子乱流と一致する。Cεの乱流レイノルズ数依存性は非平衡乱流のスケーリングと一致し、大きな減衰指数をもたらした。

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Hybrid large eddy simulation and Lagrangian simulation of a compressible turbulent planar jet with a chemical reaction

J. Xing, T. Watanabe, K. Nagata
Hybrid large eddy simulation and Lagrangian simulation of a compressible turbulent planar jet with a chemical reaction  
International Journal for Numerical Methods in Fluids, 96 962-990 2024
DOI:  https://doi.org/10.1002/fld.5273

Accepted manuscript is available here. 
This is the accepted version of the article, which has been published in final form at https://doi.org/10.1002/fld.5273. This article may be used for non-commercial purposes in accordance with the Wiley Self-Archiving Policy  [http://www.wileyauthors.com/self-archiving].

Abstract

Large eddy simulation (LES) coupled with Lagrangian particle simulation (LPS) is applied to investigate high-speed turbulent reacting flows. Here, LES solves a velocity field while LPS solves scalar transport equations with notional particles. Although LPS does not require sub-grid scale models for chemical source terms, molecular diffusion has to be modeled by a so-called mixing model, for which a mixing volume model (MVM), that is originally proposed for an inert scalar in incompressible flow, is extended to reactive scalars in compressible flows. The extended model is based on a relaxation process toward the average of nearby notional particles and assumes a common mixing timescale for all species. LES/LPS with the MVM is applied to a temporally-evolving compressible turbulent planar jet with an isothermal reaction and is tested by comparing the results with direct numerical simulation (DNS). The results show that LES/LPS well predicts the statistics of mass fractions. As the jet Mach number increases, the reaction progress delays due to the delayed jet development. This Mach number dependence is also well reproduced in LES/LPS. The mean molecular diffusion term of the product calculated as a function of its mass fraction also agrees well between LES/LPS and DNS. An important parameter for the MVM is the distance among particles, for which the requirement for accurate prediction is presented for the present test case. LES/LPS with the MVM is expected to be a promising method for investigating compressible turbulent reactive flows at a moderate computational cost.

日本語訳 (DeepL翻訳)

日本語タイトル

ラージ・エディ・シミュレーション（LES）とラグランジュ粒子シミュレーション（LPS）を組み合わせた高速乱流反応流の研究を行う．ここで，LES は速度場を解き，LPS は仮想粒子でスカラー輸送方程式を解く．LPSでは化学種項に対するサブグリッドスケールのモデルは不要であるが、分子拡散はいわゆる混合モデルでモデル化する必要がある。この混合モデルは、元来非圧縮性流れ中の不活性スカラーに対して提案された混合体積モデル（MVM）を圧縮性流れ中の反応性スカラーに拡張したものである。この拡張モデルは、近傍の想定粒子の平均に向かう緩和過程に基づいており、すべての種について共通の混合タイムスケールを仮定している。MVMを用いたLES/LPSを等温反応を伴う時間発展する圧縮性乱流平面噴流に適用し、その結果を直接数値シミュレーション（DNS）と比較して検証した。その結果、LES/LPSは質量分率の統計量をよく予測することがわかった。噴流のマッハ数が増加すると、噴流発達の遅れにより反応進行が遅れる。このマッハ数依存性はLES/LPSでもよく再現される。質量分率の関数として計算される生成物の平均分子拡散項も、LES/LPSとDNSの間でよく一致する。MVMの重要なパラメータは粒子間距離であり、今回のテストケースでは正確な予測に必要な条件が示された。MVMを用いたLES/LPSは、中程度の計算コストで圧縮性乱流反応流を調査するための有望な手法であると期待される。

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Statistical properties of shear and non-shear velocity components in isotropic turbulence and turbulent jets

R. Enoki, T. Watanabe, K. Nagata 
Statistical properties of shear and non-shear velocity components in isotropic turbulence and turbulent jets
Physical Review Fluids, 8 104602 2023
DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevFluids.8.104602

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Abstract

The triple decomposition of a velocity gradient tensor, which extracts local fluid motions of shear, rigid-body rotation, and irrotational strain, is extended to the decomposition of velocity vectors into shear and nonshear components. The present approach adapts the Biot-Savart law to reconstruct shear and nonshear velocities from the vorticity vectors of shear and rigid-body rotation, respectively. These velocities are related to the flows induced by small-scale shear layers or vortex tubes. The decomposed velocities are investigated with direct numerical simulations of isotropic turbulence and temporally evolving planar jets. The r.m.s. values of shear and nonshear velocities are about 70% and 30% of the r.m.s. value of total velocity fluctuations, and shear layers have a greater contribution to velocity fluctuations than vortex tubes. The shear and nonshear velocities are positively correlated at large scales, and the momentum transfer due to their interaction actively occurs at scales greater than 20 times the Kolmogorov scale. The contributions of shear and nonshear velocities to the Reynolds stress hardly depend on flows. The energy spectra of these velocities collapse well at small scales under Kolmogorov normalization. The present analysis of the turbulent jet confirms that shearing motion has dominant contributions to the production and diffusion of turbulent kinetic energy and the turbulent transport of a passive scalar. In addition, the energy transfer across scales is shown to be dominated by the large-scale velocity gradients arising from shearing motion and the small-scale stresses due to the shear velocity and its interaction with the nonshear component.

日本語訳 (DeepL翻訳)

日本語タイトル

せん断、剛体回転、回転ひずみの局所的な流体運動を抽出する速度勾配テンソルの三成分分解を、速度ベクトルをせん断成分と非せん断成分に分解することに拡張した。本アプローチでは、Biot-Savart則を適用し、せん断と剛体回転の渦度ベクトルから、それぞれせん断速度と非せん断速度を再構成する。これらの速度は、小規模なせん断層や渦管によって引き起こされる流れに関連している。分解された速度は，等方性乱流と時間発展する平面噴流の直接数値シミュレーションによって調べられた．せん断速度と非せん断速度のr.m.s.値は全速度変動のr.m.s.値の約70%と30%であり、せん断層は渦管よりも速度変動への寄与が大きい。せん断速度と非せん断速度は大きなスケールで正の相関があり、その相互作用による運動量移動はコルモゴロフスケールの20倍以上のスケールで活発に起こる。レイノルズ応力に対するせん断速度と非せん断速度の寄与は流れにほとんど依存しない。これらの速度のエネルギースペクトルは、コルモゴロフ正規化により小さなスケールでよく崩壊する。乱流ジェットの解析により、せん断運動が乱流運動エネルギーの生成と拡散、およびpassive scalarの乱流輸送に支配的に寄与していることが確認された。さらに、スケールを超えたエネルギー伝達は、せん断運動から生じる大規模な速度勾配と、せん断速度と非せん断成分との相互作用による小規模な応力によって支配されることが示された。

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Turbulent/non-turbulent interfaces in equilibrium and non-equilibrium regions in the absence of mean shear

M. Zecchetto, T. Watanabe, K. Nagata, C. B. da Silva  
Turbulent/non-turbulent interfaces in equilibrium and non-equilibrium regions in the absence of mean shear
International Journal of Heat and Fluid Flow, 103 109198 2023
DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatfluidflow.2023.109198

Abstract

Direct numerical simulations (DNS) of turbulent fronts evolving into a non-turbulent flow region in the absence of mean shear are generated for both classical (equilibrium) and non-equilibrium turbulence in order to study the characteristics of the turbulent/non-turbulent interface (TNTI) that separates regions of turbulent from non-turbulent (or irrotational) flow. The effects of the non-equilibrium can be observed in a number of statistics computed in the turbulent core region of the turbulent evolving fronts, such as the Reynolds dependance of the normalised dissipation Cɛ, which exhibits a power law (for non-equilibrium turbulence) close to Cɛ~Reλ^(-n), where Reλ is the Taylor based Reynolds number and n≃1is a constant. However the non-equilibrium condition of the turbulent core region does not affect the main characteristics of the TNTI layer bounding this region, which is similar in equilibrium and non-equilibrium turbulence. In particular, the thickness of the TNTI layer is similar in both equilibrium and non-equilibrium turbulence.

日本語訳 (DeepL翻訳)

平均せん断が存在しない平衡領域および非平衡領域における乱流／非乱流界面

乱流領域と非乱流（または非回転）領域を分離する乱流／非乱流界面（TNTI）の特性を研究するために，平均せん断が存在しない状態で非乱流領域へと発展する乱流前線の直接数値シミュレーション（DNS）を，古典的（平衡）乱流と非平衡乱流の両方について作成した．非平衡の効果は、乱流コア領域で計算される多くの統計量、例えば、正規化散逸Cɛのレイノルズ依存性などで観察することができ、これはCɛ~Reλ^(-n)に近いべき乗則を示します（Reλはテイラー基準のレイノルズ数、n≃1は定数）。しかし、乱流コア領域の非平衡状態は、この領域を境界とするTNTI層の主な特性には影響を与えず、これは平衡乱流でも非平衡乱流でも同様である。特にTNTI層の厚さは、平衡乱流でも非平衡乱流でも同様である。

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Unsteady dissipation scaling of grid turbulence in the near-field region

Y. Zheng, N. Koto, K. Nagata, T. Watanabe
Unsteady dissipation scaling of grid turbulence in the near-field region
Physics of Fluids, 35 095131 2023
DOI: https://doi.org/10.1063/5.0161891

Abstract

This paper investigates global (long-time-averaged) and local (short-time-averaged) statistics in the near-field region of static-grid turbulence through wind tunnel experiments. Measurements are performed in the region x/M<32 (where x is the streamwise distance from the grid and M is the mesh size of the grid) using hot-wire anemometry. Local statistics are calculated according to the methodology used in the previous time-dependent analysis [Zheng et al., “Unsteady dissipation scaling in static- and active-grid turbulence,” J. Fluid Mech. 956, A20 (2023)]. The global dimensionless dissipation rate Cε exhibits a power-law decay with respect to the global turbulent Reynolds number Reλ and the global length scale ratio L/λ (where L is the integral length scale and λ is the Taylor microscale) is constant in the near-field region, consistent with previous studies on regular- and fractal-grid turbulence. The local dimensionless dissipation rate and the local length scale ratio also obey nonequilibrium scaling laws in both near- and far-field regions of grid turbulence when the turbulent Reynolds number is locally high, whereas the nonequilibrium scaling laws for the global statistics only hold in the near-field region.

日本語訳 (DeepL翻訳)

格子乱流の格子近傍領域における非定常散逸スケーリング

本論文では、静的格子乱流の近傍場領域における大域的統計量（長時間平均）と局所的統計量（短時間平均）を風洞実験によって調べる。測定はx/M<32（xはグリッドからの流線方向距離、Mはグリッドのメッシュサイズ）の領域で熱線流速計を用いて行った。局所統計量は、前回の時間依存解析で用いた方法に従って計算する[Zheng et al., “Unsteady dissipation scaling in static- and active-grid turbulence,” J. Fluid Mech. 956, A20 (2023)]. 大域的な無次元散逸率Cεは、大域的な乱流レイノルズ数Reλに対してべき乗減衰を示し、大域的な長さスケール比L/λ(Lは積分長さスケール、λはテイラー・マイクロスケール)はニアフィールド領域で一定であり、正格子およびフラクタル格子の乱流に関する先行研究と一致する。局所無次元散逸率と局所長さスケール比も、乱流レイノルズ数が局所的に高い場合、格子乱流のニアフィールド領域とファーフィールド領域の両方で非平衡スケーリング則に従うが、大域統計量に対する非平衡スケーリング則はニアフィールド領域でのみ成立する。

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Large-eddy simulation of a flow generated by a piston-driven synthetic jet actuator

P. D. Tung, T. Watanabe, K. Nagata
Large-eddy simulation of a flow generated by a piston-driven synthetic jet actuator
CFD Letters, 16 1998-2009 2023
DOI: https://doi.org/10.37934/cfdl.15.8.118

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Abstract

We study the characteristics of a compressible flow generated by a piston-driven synthetic jet actuator by employing large-eddy simulation with OpenFOAM. The actuator consists of a piston and a cylinder with a square orifice on top and produces a compressible synthetic jet with the piston movement. Comparison with experimental data demonstrates that the numerical model constructed with OpenFOAM is useful to examine the performance of the actuator. As the piston frequency increases, the maximum pressure inside the cylinder increases while the minimum pressure decreases. The fluid temperature inside the cylinder also varies similarly to the pressure. The maximum jet Mach number is well represented as a function of the maximum pressure. The phase-averaged velocity field of the synthetic jet confirms that the blowing and suction phases do not perfectly match with the piston movement. The root-mean-square velocity defined with the phase average also shows that a high turbulence level is observed in the region where the flow is decelerated at the furthest location of the jet in the blowing phase

日本語訳 (DeepL翻訳)

ピストン駆動式シンセティックジェットアクチュエータで生成される流れのラージ・エディ・シミュレーション

OpenFOAMを用いたラージ・エディ・シミュレーションにより、ピストン駆動式シンセティック・ジェット・アクチュエータによって生成される圧縮性流れの特性を研究する。このアクチュエータは、ピストンと上部に正方形のオリフィスを有するシリンダから構成され、ピストンの移動に伴って圧縮性の合成ジェットを生成する。実験データとの比較により，OpenFOAMで構築した数値モデルがアクチュエータの性能を調べるのに有効であることが示された．ピストンの周波数が高くなるにつれて、シリンダー内の最大圧力は上昇し、最小圧力は低下する。シリンダー内の流体温度も圧力と同様に変化します。最大噴流マッハ数は、最大圧力の関数としてよく表される。合成ジェットの位相平均速度場は、吹き出しと吸い込みの位相がピストンの動きと完全には一致しないことを確認している。相平均で定義された二乗平均平方根速度はまた、吹き出し相のジェットの最も遠い位置で流れが減速される領域で高い乱流レベルが観察されることを示している。

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Local geometry of a weak normal shock wave interacting with turbulence

A. Kusuhata, K. Tanaka, T. Watanabe, K. Nagata, A. Sasoh 
Local geometry of a weak normal shock wave interacting with turbulence 
Physics of Fluids, 35 086110 2023
DOI: https://doi.org/10.1063/5.0158309

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This version is free to view and download for private research and study only. 

Abstract

The shock surface geometry is investigated with direct numerical simulations of a weak normal shock wave propagating in turbulence. The geometry is quantified with the principal curvatures of the surface. A large part of the surface has an approximately flat saddle shape, while elliptic concave and convex shapes with a large curvature intermittently appear on the shock surface. The pressure–dilatation correlation in the governing equation of pressure is investigated at the shock wave with the decomposition into three terms associated with the velocity gradients in the two directions of the principal curvatures and the normal direction of the shock wave. Fluid expansion in the tangential direction occurs at the shock wave with a convex shape in the direction of the shock propagation, resulting in a smaller pressure jump across the shock wave. For a concave shape, compression in the tangential direction can amplify the pressure jump. Consistently, small and large shock Mach numbers are observed for convex and concave shapes, respectively. The geometric influences are the most significant for elliptic concave and convex shapes with approximately equal curvatures in the two principal directions because the compression or expansion occurs in all tangential directions. These relations between the shock surface geometry and shock Mach number observed in turbulence are consistent with the theory of deformed shock waves, suggesting that the three-dimensional geometrical features of the shock surface are important in the modulation of shock waves due to turbulence.

日本語訳 (DeepL翻訳)

乱流と相互作用する弱い衝撃波の局所形状 

乱流中を伝播する弱い法線衝撃波の直接数値シミュレーションにより衝撃面の形状を調べた。その形状は表面の主曲率で定量化される。衝撃波表面の大部分はほぼ平坦な鞍型形状であるが、衝撃波表面には大きな曲率を持つ楕円凹凸形状が断続的に現れる。衝撃波における圧力の支配方程式における圧力-膨張相関を、衝撃波の主曲率と法線方向の2方向の速度勾配に関連する3つの項に分解して調べた。衝撃波が衝撃波の伝播方向に凸の形状をしている場合、接線方向の流体膨張が起こり、衝撃波を横切る圧力ジャンプが小さくなる。凹形状の場合、接線方向の圧縮により圧力ジャンプが増幅される。一貫して、衝撃マッハ数は凸型と凹型でそれぞれ小さく、大きく観察される。幾何学的な影響は、圧縮または膨張がすべての接線方向で起こるため、2つの主方向の曲率がほぼ等しい楕円凹凸形状で最も大きくなる。乱流中で観測された衝撃面の形状と衝撃マッハ数のこれらの関係は、変形衝撃波の理論と一致しており、衝撃面の3次元的な形状的特徴が乱流による衝撃波の変調に重要であることを示唆している。

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